BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Bilangan
real adalah sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol.Bilangan real adalah gabungan
dari bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah gabungan dari
bilangan bulat dan bilangan pecahan. Bilangan bulat adalah gabungan dari
bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Sistem bilangan adalah
hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari
suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak
macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai Himpunan
Bilangan Real.
Himpunan bilangan real
adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan irasional.
Himpunan bilangan real
yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Bilangan Real
Sistem matematika
adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi
yang telah kita kenal antara lain: , dan logaritma. Sedangkan
sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.
Himpunan-himpunan
bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan:
Apakah bilangan real
itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa
sistem bilangan yang sederhana berikut ini.
- Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem
bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (=
Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, …
Dengan bilangan ini
kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang
kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan
peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang,
berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai.
Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam
sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio)
dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
Bilangan-bilangan yang
dapat dituliskan dalam bentuk , dimana mdan n adalah
bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (=
Quotient ).
Apakah bilangan
rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan
pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka
memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah
segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai
suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak
rasional (irasional). Demikian juga .
Jika kita belum
terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara
langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk
membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa
dengan menggunakan kalkulator nilai dari .
Setelah diperiksa,
diperoleh sebagai berikut:
Apabila kita
perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk
desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan
dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk
bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
- Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional
dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan
nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain,
bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah
titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal
yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah
kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang
tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang
dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!
Kedudukan bilangan real
dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.
- Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
- a) Operasi Penjumlahan
Contoh:
- b) Operasi Pengurangan
Contoh:
- -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $
- c) Operasi Perkalian
Contoh:
- d) Operasi Pembagian
Contoh:
- Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
- a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:
- b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:
- c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
- Menghitung persentase
- a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada
tingkat penjualan yang dilakukan.
Contoh:
Seorang salesman akan
mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp.
2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp.
2.000.000
Jadi besarnya komisi
yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
- b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan.
Contoh:
Menjelang miladnya,
sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika
kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp.
800.000,00
Jadi, kita harus
membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp.
200.000,00 = Rp. 600.000,00
- c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau
biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:
Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau
biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:
Contoh:
Sebuah barang dibeli
dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00.
Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00
– Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan
(laba) dari harga beli:
Persentase keuntungan
(laba) dari harga penjualan:
- Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
Waktu SMP kita sudah
mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut
sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada
bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.
Untuk
setiap , beralaku sifat-sifat berikut;
- Penjumlahan
- Sifattertutuppada penjumlahan;
- Sifatkomutatifpada penjumlahan
- Sifatasosiatifpada penjumlahan
- Sifatdistributif perkalian terhadap penjumlahan
- Sifatidentitaspada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)
- Sifatinverspada penjumlahan
1.
Perkalian
2.
Sifattertutuppada
perkalian
3.
Sifatkomutatifpada
perkalian
4.
Sifatasosiatifpada
perkalian
5.
Sifatdistributif
perkalian terhadap penjumlahan
6.
Sifatidentitaspada
perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
7.
Sifatinverspada
perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.
(untuk ) (tidak ada/tidak didefinisikan).
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Sistem bilangan adalah
hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari
suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak
macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai Himpunan
Bilangan Real.
Himpunan bilangan real
adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan irasional.
Himpunan bilangan real
yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.
B. Saran
Demikianlah Makalah
Matematika Dasar ini, Makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus
dilengkapi,untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh
dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon dengan segala kerendahan hati, untuk
memberikan Saran dan Kritiknya yang bersifat membangun, dengan harapan agar
makalah ini bisa lebih sempurna.
DAFTAR PUSTAKA
Ismayani, Ani. “Bilangan Real”
http://www.matematikamenyenangkan.com/bilangan-real/ (diakses
tanggal 20 September 2013)
Ayaso.”Persamaan dan Pertidaksamaan”
https://dl.dropbox.com/u/9266921/persamaan%20dan%20pertidaksamaan.pdf (diakses tanggal 20
September 2013)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar