1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang
terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah
yaitu 0,1,2,3,4,... sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,...
dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.
Himpunan semua bilangan
bulat terdiri atas:
1.
Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : { 1, 2, 3, 4, 5,...}
2.
Bilangan bulat nol, yaitu 0
3.
Bilangan bulat negatif, yaitu : {-1, -2, -3, -4, -5, ...}
·
Setiap bilangan bulat
mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
·
Dua bilangan bulat
dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Misalnya: :
1)
Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
2)
Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
3)
Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0
4)
Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0
5)
Lawan dari 10 adalah -10, sebab 10 + (-10) = 0
6)
Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0
·
Sifat Refleksi, yaitu
untuk sembarang bilangan bulat berlaku a = a.
Contoh : 7 = 7, dan -6
= -6
·
Sifat Simetris, yaitu
untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku “ jika a = b maka
b = a”.
Contoh : jika 6 = 4+2 maka, 4+2 = 6.
·
Sifat Transitif, yaitu
untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku “ jika a = b, b = c, maka a
= c.
Contoh : jika 9 = 3 + 6,
3 + 6 = 4 + 5, maka 9 = 4 + 5
2. Sifat-sifat
Relasi Urutan
Untuk sembarang
bilangan real a dan b, a dikatakan kurang
dari b (ditulis a<b jika b-a positif.
Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis a>b)
jika b<a. Sebagai contoh, 2<5 dan 3 >-1. Mudah
ditunjukkan bahwa:
a. Bilangan a positif
jika dan hanya jika a>0.
b. Bilangan a negatif
jika dan hanya jika a<0 .
Jika a kurang dari atau sama
dengan b, maka ditulis a ≤ b. Jika a lebih
dari atau sama dengan b, maka ditulis a ≥ b .
Sedangkan a<b<c dimaksudkan sebagai a<b
dan b<c . Artinya b antara a dan c.
Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk
sebarang bilangan real a, b, dan c:
1.
Jika a ≤ b maka a+c
≤ b+c untuk setiap bilangan real c.
2.
Jika a ≤ b dan b
≤ c maka a ≤ c.
3.
a. Jika a ≤ b dan c>0
maka a.c ≤ b.c.
b. Jika a ≤ b dan c<0 maka a.c
≥ b.c.
4. a. Jika a
>0 maka
Jika 0 < a ≤ b maka
Untuk sembarang
bilangan real a dan b berlaku tepat
satu: a<b, a=, atau a>b
Jika a,b ≥ 0 maka:
B. Operasi Bilangan
Bulat
Ada 4 macam operasi
utama yang berlaku pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Keempat operasi bilangan bulat ini sangat berhubungan
satu sama lain. Berikut akan di jelaskan satu per satu mengenari operasi
bilangan bulat berikut:
·
Bilangan bulat positif
+ Bilangan bulat positif hasilnya Bilangan bulat Positif
Contoh : 9 + 4 = 13
·
Bilangan bulat negatif
+ Bilangan bulat negatif hasilnya Bilangan bulat Negatif
Contoh : -12 + (-6) =
-18
·
Bilangan bulat negatif
+ bilangan positif hasilnya:
·
Bilangan bulat positif
jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan bulat
negatif
Contoh : -3 + 7 = 4
·
Bilangan bulat negatif
jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan buat
positif
Contoh : -7 + 2 = -5
Sifat- sifat
penjumlahan pada bilangan bulat
a. Sifat komutatif
(pertukaran) pada penjumlahan.
Untuk
sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:
a
+ b = b +
a
Artinya, hasil penjumlahan dua bilangan bulat yang tempatnya dipertukarkan
selalu sama.
b. Unsur identitas pada penjumlahan
Untuk
setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:
a
+ 0 = 0 + a = a
Artinya, hasil penjumlahan suatu bilangan
bulat dengan bilangan nol atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu
sendiri.
0 disebut unsur identitas (netral) pada
penjumlahan.
c. Sifat asosiatif
(pengelompokkan) pada penjumlahan.
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku:
(a
+ b) + c = a + (b + c)
d. Sifat tertutup pada
penjumlahan
Untuk
sembarang bilangan bulat a dan b, jika a + b = c maka c juga bilangan bulat.
Artinya, penjumlahan bilangan bulat selalu
menghasilkan bilangan bulat juga.
e. Sifat adanya Invers
Penjumlahan
untuk stiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b
sehingga a + b = b + a = 0 bilangan b ini di sebut invers atau lawan dari a dan
biasanya dinyatakan dengan lambang –a.
f.
Sifat Ketertambahan
Jika a, b, c, bilangan-bilangan bulat, dan a + c = b +
c maka a = b
Pengurangan bilangan
bulat di definisikan sebagai berikut :
Misalkan a dan b bilangan bulat
a – b = c yang berarti b + c = a
kesimpulannya adalah bahwa a – b = c jika dan hanya
jika a = b + c.
Contoh : (-2) – 3 = -5 sebab 3 + (-5) = 2
Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat
a. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:
a - b = a + (-b)
Artinya, mengurangkan b dari a sama
artinya dengan menambahkan lawan b pada a.
b. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat
komutatif dan asosiatif
a - b tidak sama dengan b -c
(a - b) - c tidak sama dengan a - (b - c)
c. Sifat pengurangan bilangan nol (0)
a - 0 = a
0 - a = -a
0 - 0 = 0
d. jika a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b).
Operasi perkalian bilangan bulat adalah hasil kali dua
bilangan bulat yang berlainan tanda ( + atau - ) adalah bilangan bulat negatif,
dan hasil kali dua bilangan bulat yang bertanda sama adalah bilangan bulat
positif.
Contoh : (-3) (-2) = 3.2 = 6
5 (-2) = - (5.2) = -10
Sifat-sifat Perkalian bilangan bulat
1.
Hasil perkalian dua
bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya
a. Hasil kali dua bilangan bulat
positif adalah bilangan bulat positif.
a x
b = ab atau (+) x (+) = (+)
b. Hasil kali bilangan bulat
positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
a x
(-b) = -ab atau (+) x (=) = (-)
Contoh:
4 x (-5) = -20
c. Hasil kali bilangan bulat
negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif.
(-a)
x b = -ab atau (-) x (+) = (-)
Contoh:
-3 x 6 = -18
d. Hasil kali dua bilangan bulat
negatif adalah bilangan bulat positif
(-a)
x (-b) = ab atau (-) x (-) = (+)
Contoh:
(-5) x (-2) = 10
2.
Hasil perkalian antara
bilangan bulat dengan nol adalah nol
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:
a
x 0 = 0 x a = 0
3.
Unsur identitas pada
perkalian
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:
a
x 1 = 1 x a = a
Artinya,
hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya, akan
menghasilkan bilangan itu sendiri.
1
disebut unsur identitas (netral) pada perkalian.
4.
Sifat komutatif
(pertukaran) pada perkalian
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:
a
x b = b x a
5.
Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada
perkalian
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:
(a
x b) x c = a x (b x c)
6. Sifat distributif (penyebaran) pada perkalian
a. Sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan
Untuk sembarang
bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:
a x
(b + c) = (a x b) + (a x c)
b. Sifat distributif perkalian
terhadap pengurangan
Untuk
sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:
a x
(b - c) = (a x b) - (a x c)
7. Sifat tertutup pada perkalian
Untuk sembarang bilangan bulat a
dan b, jika a x b = c, maka c juga bilangan bulat.
8. Sifat
Ketergandaan
Untuk setiap bilangan bulat a, b, c jika a = b , maka
a.c = b.c
9. Sifat
konselasi
Untuk setiap bilangan bulat a,b, c jika ac = bc dan c
0 , maka a =
Teorema Operasi
Perkalian
Jika a bilangan bulat, maka (-1) a = -a
Operasi bilangan bulat di definisi sebagai berikut:
“jika a dan b bilangan
bulat dengan b ≠ 0, maka a dibagi b di tulis a : b , ialah bilangan bulat x
yang bersifat b.x = a”.
Sifat-sifat pembagian bilangan bulat
1. Pembagian adalah
operasi kebalikan dari perkalian
a
: b = c <=> c x b = a
2. Hasil pembagian dua
bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya
a. Hasil
bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
(+) : (+) = (+)
b. Hasil
bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya
adalah bilangan bulat negatif.
(+) : (-) = (-) atau
(-) : (+) = (-)
Contoh: 8 :
(-2) = -4
(-16) : 4 = -4
c. Hasil bagi dua bilangan bulat
negatif adalah bilangan bulat positif.
(-) : (-) = (+)
Contoh: (-18)
: (-3) = 6
3. Pembagian dengan
bilangan nol
Untuk
sembarang bilangan bulat a, maka:
a
: 0 tidak terdefinisikan
0 : a = 0
4. Pada operasi pembagian
tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif
a
: b tidak sama dengan b : a
(a : b) :
c tidak sama dengan a : (b : c)
a, b, dan
c adalah sembarang bilangan bulat dengan a, b, c bukan 0 dan 1.
Contoh:
1). 8 : 2
tidak sama dengan 2 : 8
4 tidak sama dengan 1/4
2). (16 :
4) : 2 tidak sama dengan 16 : (4 : 2)
4 : 2 tidak sama dengan 16 : 2
2
tidak sama dengan 8
Terlebih dahulu kita
kenalkan konsep bilangan bulat negatif. Bilangan bulat negatif merupakan lawan
dari bilangan bulat positif. Untuk menanamkan konsep seperti ini guru
setidaknya berceramah secara singkat tentang pemahaman tersebut. Setelah itu
guru melakukan tanya jawab kepada siswa tetang materi yang baru saja di
bawakan. Hal itu bertujuan untuk menambah pengetahuan siswa.
Pemahan konsep bilangan
bulat terutama dalam operasi pengurangan dapat dilakukan dengan garis bilangan.
Sehingga guru dapat membimbing siswa untuk menyimpulkan bilangan bulat positif,
nol, dan bilangan negatif disebut bilangan bulat.
a. Menggunakan Benda
Kongkret
Penanaman konsep
penjumlahan dan pengurangan bilangan bula dapat dilakukan dengan benda kongket,
contoh nya saja menggunakan kartu. Guru menyediakan kartu berukuran 5x5 cm yang
terdiri atas dua warna, misalkan masing-masing bewarna merah muda dan biru. Setelah
itu guru menentukan identitas kartu dengan merah muda adalah kartu yang
mewakili bilangan bulat positif (+), sedangkan kartu yang bewarna biru
muda mewakili bilangan bulat negatif (-).
Bilangan bulat merupakan
bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam
bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,... sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu
-1,-2,-3,-4,... dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara
terpisah.
Himpunan semua bilangan
bulat terdiri atas:
1. Bilangan bulat positif
atau bilangan asli, yaitu : { 1, 2, 3, 4, 5,...}
2. Bilangan bulat nol,
yaitu 0
3. Bilangan bulat negatif,
yaitu : {-1, -2, -3, -4, -5, ...}
Operasi bilangan bulat
terdiri dari penjumlahan, pengurangan , perkalian dan pembagian.
Pengajaran operasi
bilangan bulat tersebut dapat dilakukan dengan benda kongkrit, misalnya dengan
menggunakan kartu berwarna.
B. Saran
Kami sebagai penulis
menyarankan kepada para mahasiswa, khususnya mahasiswa calon guru SD, untuk
mengajarkan operasi bilangan bulat janganlah terlalu rumit dan membingungkan siswa,
cukup dengan bahasa yang sederhana dan media yang murah dan sederhana serta
mudah dipahami oleh anak didik. Contohnya saja dengan menggunakan kartu warna.
Disini guru dapat mengajarkan operasi bilangan bulat yang bersifat abstrak
dengan media yang kongkrit.
Karso,dkk.1998.Pendidikan
Matematika I. Jakarta. Depdikbud. UT
Russefendi, E,T. 1991.
Pendidikan Matematika III, Jakarta, Depdikbud.
Depdikbud,2004.
Kurikulum Matematika Berbasis Kompetensi, Jakarta, Depdikbud.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar